جواب کاردرکلاس صفحه 31 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 31 حسابان دوازدهم سلام به شما! این تمرین برای درک کامل رفتار **تابع تانژانت** در کل دایره مثلثاتی (از $0$ تا $2\pi$) بسیار ضروری است. تانژانت بر خلاف سینوس و کسینوس، در تمام دایره **اکیداً صعودی** است. --- ### الف) بررسی روند تغییرات تانژانت (افزایشی یا کاهشی) 📈 تانژانت ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$) در تمام ربع‌هایی که در آن تعریف شده است، **همواره افزایشی (صعودی)** است. دلیل این امر را با بررسی هر ربع توضیح می‌دهیم: * **ربع دوم $\left(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$:** * با افزایش $\alpha$، $\sin \alpha$ (صورت) از 1 به 0 **کاهش** می‌یابد. * $\cos \alpha$ (مخرج، منفی) از 0 به $-1$ **کاهش** می‌یابد (در قدر مطلق افزایش). * چون صورت و مخرج (به صورت قدر مطلق) همزمان کاهش می‌یابند، مقدار $\tan \alpha$ که از $-\infty$ به 0 می‌رسد، **افزایشی** است. (مثلاً: $-10 < -1$ و $-1 < 0$) * **نتیجه:** **افزایشی ($\nearrow$)** * **ربع سوم $\left(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\right)$:** * با افزایش $\alpha$، $\sin \alpha$ (منفی) از 0 به $-1$ **کاهش** می‌یابد (قدر مطلق افزایش). * $\cos \alpha$ (منفی) از $-1$ به 0 **افزایش** می‌یابد (قدر مطلق کاهش). * چون صورت و مخرج هر دو منفی هستند، تانژانت مثبت است و از 0 به $+\infty$ می‌رسد. * **نتیجه:** **افزایشی ($\nearrow$)** * **ربع چهارم $\left(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\right)$:** * با افزایش $\alpha$، $\sin \alpha$ (منفی) از $-1$ به 0 **افزایش** می‌یابد (قدر مطلق کاهش). * $\cos \alpha$ (مثبت) از 0 به 1 **افزایش** می‌یابد. * چون $\tan \alpha$ منفی است و از $-\infty$ به 0 می‌رسد. * **نتیجه:** **افزایشی ($\nearrow$)** **پاسخ الف:** روند تغییرات تانژانت در ربع‌های دوم، سوم و چهارم **همواره افزایشی** است. --- ### ب) بازه تغییرات مقدار تانژانت بازه تغییرات تانژانت از $-\infty$ تا $+\infty$ است. این بازه در هر ربع (به جز ربع‌های مرزی) به دلیل وجود **مجانب عمودی** در $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$، تکرار می‌شود. * **ربع اول $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$:** از $0$ تا $+\infty$. بازه: $\mathbf{(0, +\infty)}$ * **ربع دوم $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$:** از $-\infty$ تا $0$. بازه: $\mathbf{(-\infty, 0)}$ * **ربع سوم $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$:** از $0$ تا $+\infty$. بازه: $\mathbf{(0, +\infty)}$ * **ربع چهارم $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$:** از $-\infty$ تا $0$. بازه: $\mathbf{(-\infty, 0)}$ --- ### پ) تکمیل جدول مقادیر تانژانت برای زوایای مهم و روند تغییرات در ربع‌های مختلف (که همگی افزایشی هستند): | | ربع اول | ربع دوم | ربع سوم | ربع چهارم | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **زاویه** | $0 \to \frac{\pi}{2}$ | $\frac{\pi}{2} \to \pi$ | $\pi \to \frac{3\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{2} \to 2\pi$ | | **$\tan \theta$** | $0 \xrightarrow{\nearrow} +\infty$ | $-\infty \xrightarrow{\nearrow} 0$ | $0 \xrightarrow{\nearrow} +\infty$ | $-\infty \xrightarrow{\nearrow} 0$ | | ربع | افزایشی یا کاهشی | بازه تغییرات | |:---:|:---:|:---:| | **دوم** | **افزایشی ($\nearrow$)** | **$(-\infty, 0)$** | | **سوم** | **افزایشی ($\nearrow$)** | **$(0, +\infty)$** | | **چهارم** | **افزایشی ($\nearrow$)** | **$(-\infty, 0)$** |